В сентябре произошло много событий, связанных с применением ИИ в математике. Главное, но далеко не единственное — публикация компанией OpenAI решения задачи тысячелетия, связанной с уравнениями Навье–Стокса. Эта публикация вызвала бурное обсуждение влияния ИИ на развитие науки. T-invariant рассказывает о результате OpenAI и о событиях, которые за ним последовали (спойлер: математика изменилась, и изменил ее именно ИИ).
Главные новости о жизни ученых во время войны, видео и инфографика — в телеграм-канале T-invariant. Подпишитесь, чтобы не пропустить.
8 сентября вышел пресс-релиз компании OpenAI под названием «О задаче тысячелетия: уравнения Навье–Стокса» (On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem). В пресс-релизе сообщалось, что внутренняя модель компании (еще не выпущенная и более мощная, чем GPT-6 Astra) получила решение одной из задач тысячелетия, объявленных Институтом Клея в 2000 году (Millennium Prize Problems). Доказательство, полученное OpenAI, было выложено по ссылке прямо под заголовком (статья в традиционной нотации и формализованное доказательство на языке Lean). Компания заявила, что претендовать на премию Института Клея (1 миллион долларов) она не будет.
В пресс-релизе говорится о работе математиков Левента Алпёге (сотрудника компании Anthropic) и Тристана Бакмастера (профессора математики Нью-Йоркского университета) над уравнениями Эйлера (это задача, близкая к задаче Навье–Стокса, и мы ее обсудим). OpenAI признала, что сосредоточилась на решении задачи Навье–Стокса 1 сентября, когда до нее дошли слухи, что решены две задачи тысячелетия. Тогда OpenAI, опираясь на теорию, созданную математиками почти за два столетия, смогла решить задачу тысячелетия за 88 часов, используя 10 000 агентов. Еще 17 часов понадобилось на формализацию доказательства на языке Lean, подтвердившую его корректность.
Результат, полученный OpenAI, привлек огромное внимание не только математиков, но и самой широкой публики. Премия Института Клея сегодня известна едва ли не всем образованным людям. Не потому, что неспециалисты так глубоко разбираются в задачах тысячелетия, а из-за скандала, который разразился вокруг первой решенной задачи из списка Клея (всего в списке семь задач) — гипотезы Пуанкаре. Премия в 1 миллион долларов в 2010 году была присуждена Григорию Перельману, но он от нее отказался. Перельман объяснил, что не согласен с решением присудить награду ему одному: по его словам, американский математик Ричард Гамильтон сделал для доказательства не меньше. Тогда премию Клея не получил никто. Похоже, за решение второй задачи тысячелетия премию тоже никто не получит.
Другая причина невероятного шума вокруг доказательства OpenAI гораздо более современна. Самые разные люди задаются вопросом: «Если ИИ действительно способен решать задачи невероятной сложности на самом переднем крае математики, значит, искусственный интеллект победил человека и не только программисты, но и математики высочайшего уровня больше не нужны?» Чтобы попытаться ответить на этот вопрос, нам нужно хотя бы в общих чертах представить, что такое уравнения Навье–Стокса и какое решение нашла OpenAI.
Чашка чая и уравнения Навье–Стокса
Представьте себе обычную чашку чая. Вы берете ложечку и начинаете помешивать чай. Если вы двигаете ложечку по кругу, в чашке образуется воронка (вихрь). Если вы перестанете мешать чай, воронка быстро разгладится. Попробуем на этом простом примере сформулировать задачу Навье–Стокса.
Ложечка — это внешняя сила, воздействующая на жидкость. Пока вы мешаете чай (внешняя сила действует), воронка образуется; если вы вынимаете ложечку (сила равна нулю), воронка какое-то время крутится по инерции, а потом разглаживается — разглаживает ее внутреннее трение, или вязкость. У разных жидкостей вязкость разная: например, у воды она гораздо меньше, чем у меда. В меде добиться появления даже небольшой воронки труднее (нужно приложить большую внешнюю силу).
Уравнения Навье–Стокса — это своего рода второй закон Ньютона для несжимаемой вязкой жидкости. Первый вариант уравнений предложил французский математик Клод-Луи Навье еще в 1822 году — больше 200 лет назад. Наиболее убедительный вывод уравнений дал английский математик Джордж Стокс в работе 1845 года. Уравнения Навье–Стокса прекрасно работали и работают. Но математиков всегда интересуют границы: когда модель начнет сбоить? Например, механика Ньютона начинает «сбоить» в таких приложениях, как привычный навигатор. Модель приходится перестраивать, иначе не будет работать GPS. Сегодня системы навигации учитывают и скорость спутников, и разницу гравитации на Земле и на орбите, здесь действуют не законы Ньютона, а теория относительности (и СТО, и ОТО).
В уравнениях Навье–Стокса такой границей применимости является возможность «взрыва»: может ли при конечной внешней силе за конечное время скорость движения жидкости стать «бесконечной»? Это означало бы, что при таких условиях модель неприменима. Это и есть задача тысячелетия.
OpenAI утверждает: да, может. Разговор о задаче мы начнем с уравнений Эйлера. Они описывают идеальную несжимаемую жидкость, то есть жидкость без вязкости. Если такую жидкость помешать ложечкой, воронка не разгладится никогда (мы здесь пренебрегаем трением о стенки чашки). Есть две задачи для уравнений Эйлера: одна — с внешней силой, другая — без нее.
В этих задачах спрашивается то же, что и в задаче об уравнениях Навье–Стокса: можно ли так хитро закрутить чай в чашке, чтобы воронка повела себя совершенно необычно — ускорилась настолько, что ее скорость вращения станет бесконечной? Все началось с решения уравнений Эйлера с внешней силой. Как сообщили Алпёге и Бакмастер, они решили эту задачу. Они показали, что можно так подобрать силу, действующую на идеальную жидкость, что она «взорвется» — вихрь достигнет бесконечной скорости, хотя приложенная сила конечна и время конечно. Бакмастер использовал для поиска решения внутреннюю модель компании Anthropic, но предыдущие два месяца он работал с OpenAI Codex. Поэтому и возникли подозрения, что OpenAI «подсмотрела» решение, хотя компания утверждает, что ничего такого не было. Но, по признанию самой компании, слух о том, что решение какой-то открытой проблемы из списка Института Клея (причем неизвестно какой), возможно, найдено, стал тем толчком, с которого началась работа огромной мультиагентной системы: вместе с командой математиков и инженеров OpenAI ИИ-агенты начали интенсивную работу.
Сначала команда попробовала решать сразу все варианты всех открытых задач тысячелетия, и более простые, связанные с ними проблемы. Первой подалась задача Эйлера без внешней силы. Можно ли так подобрать начальные условия (распределение скоростей), чтобы даже после того, как мы вынем ложечку из чашки, вихрь по инерции раскрутился до бесконечной скорости? Одна из групп агентов эту задачу Эйлера решила: им удалось найти такое хитрое распределение начальных скоростей, что и после того, как воздействие внешней силы закончилось (мы вынули ложечку), вихрь раскрутился до бесконечной скорости. Когда эта очень трудная задача была решена, все силы были брошены на уравнения Навье–Стокса — а они (в отличие от уравнений Эйлера) описывают вязкую жидкость. Найти силу, которая за конечное время приведет к образованию вихря с бесконечной скоростью в вязкой жидкости, намного труднее: вязкость сглаживает и гасит вихрь.
OpenAI целенаправленно решала именно задачу тысячелетия — уравнения Навье–Стокса с внешней силой и вязкостью. Это, вообще-то, нормальные физические условия, но вот решение было найдено, мягко говоря, «ненормальное». OpenAI решила задачу тысячелетия — здесь все честно, но математики ждали от этого доказательства другого. Они ожидали не изощренного контрпримера, а более глубокого понимания турбулентности. Многие были разочарованы.
По условиям задачи тысячелетия внешняя сила, действующая на жидкость, должна быть «бесконечно гладкой» (и сама функция, и все ее производные должны быть дифференцируемы). Агенты OpenAI «собирали» эту силу буквально по кусочкам, как пазл, причем элементы этого пазла были подобраны так точно, что растягивали и закручивали вихрь, каждый кусочек зависел от масштаба, и все вместе они образовали бесконечно гладкое воздействие. Математики много раз пытались решить эту задачу, но человек не может удержать в голове и описать огромное количество разных, все время подстраиваемых условий. А ИИ-агенты с этой задачей справились.
Но остался еще один вариант задачи тысячелетия — уравнения Навье–Стокса без внешней силы. А что в этом случае? Можно ли раскрутить вязкую жидкость, вынуть ложечку и просто смотреть, как вихрь разгоняется до бесконечной скорости? (Напомним, что для идеальной жидкости эту задачу ИИ-агенты решили.) Математики ждали, что решение с внешней силой даст подсказку и для этой, еще более трудной задачи. Но задача Навье-Стокса без внешней силы устояла. Сегодня это по-прежнему открытая проблема.
Заявление филдсовских лауреатов
11 сентября (через три дня после пресс-релиза OpenAI) группа лауреатов Филдсовской премии (самой престижной награды в мире математики) подписала обращение: «Конфликт приоритетов: применение ИИ в математике» (A Severe Misalignment of AI in Mathematics). На сегодня его подписали 28 человек. Среди них — ведущие мировые авторитеты всех поколений: патриарх Пьер Делинь (получивший премию в 1978 году), Теренс Тао (2006), новые звезды — Петер Шольце (2018), Марина Вязовская (2022). Обращение подписали и шестеро математиков — выходцев из России: Владимир Дринфельд, Максим Концевич, Григорий Маргулис, Андрей Окуньков, Станислав Смирнов, Ефим Зельманов (ни один из них сегодня в России не работает). 28 подписавших — это больше половины всех ныне живущих филдсовских лауреатов. Такое коллективное заявление — случай беспрецедентный.
Что их встревожило? Манифест лауреатов выделяет несколько угроз. Первая и главная: ИИ-компании используют решение знаменитых задач как бенчмарки. Они говорят: вот смотрите, что мы умеем, покупайте наши токены, и вы тоже так сможете. Но цель математики — не получение ответа «истина/ложь» плюс нечитаемый код доказательства на тысячу страниц, даже если этот код верен. Математика стремится к пониманию мира, а такие ответы скорее закрывают дорогу, чем дают это новое понимание. Второй момент: при той спешке, в которой публикуются результаты, возникают вопросы об авторстве и плагиате. Возможность обучения машин на гипотезах и идеях заставляет математиков прятать результаты; они боятся обсуждать идеи в соцсетях, даже не выносят неоконченные работы на конференции. А это очень плохо: наука — дело коллективное. И третий момент. Математика живет учениками, которые растут, решая сложные задачи. Если нейросеть будет делать это быстро и непонятно, человеческая цепочка передачи знаний и выращивания новых ученых просто прервется.
Но вот в чем вопрос: можно ли остановить этот процесс и нужно ли его останавливать? На этот счет существуют разные мнения.
21 сентября при Институте перспективных исследований в сотрудничестве с OpenAI был создан консультативный совет по использованию ИИ в математике, в который вошли девять известных математиков, в том числе филдсовские лауреаты Тимоти Гауэрс, Эдвард Виттен и, что довольно неожиданно, Мартин Хайрер, подписавший вместе с коллегами обращение «Конфликт приоритетов…». Фактически ситуация складывается такая: между математиками, которые делают ставку на ИИ-методы, и теми, кто придерживается более традиционных взглядов, нет непроходимой границы. И Теренс Тао — яркий тому пример: он и пытается немного притормозить активность ИИ-компаний, и в то же время широко использует ИИ-методы в своей работе.
Как прочитать за ночь 166 страниц нечитаемого текста
4 сентября компания Anthropic выпустила пресс-релиз, в котором сообщила: «Мы публикуем первое полное доказательство Великой теоремы Ферма, проверенное с помощью компьютера. Claude в течение 11 дней работал в основном самостоятельно над написанием доказательства на языке программирования Lean». Claude писал программы на Lean, чтобы проверить доказательство, которое опиралось на результат Уайлса — Тейлора. И Lean подтвердил, что доказательство корректно. На самом деле для математики этот результат едва ли не важнее, чем построенный OpenAI пазл. Больше не надо верить автору на слово, не надо опираться на авторитет и коллективное согласие, не надо самому проверять каждый шаг. Пусть это сделает Lean.
Приведем исторический пример. Владимир Арнольд вспоминал о знакомстве с крупнейшим математиком Рене Томом (филдсовским лауреатом 1958 года): «И я, действительно, больше всего подружился в 1965 году именно с Томом. Беда только в том, что я никак не мог понять его теоремы из статьи «О топологических методах в биологии», где он заложил основы теории катастроф. Том ясно отвечал мне (пару десятков лет) на вопросы об этой теореме: «Всегда найдутся дураки, чтобы находить для наших теорем доказательства». В конце концов, я попросил своего аспиранта Б. А. Хесина разобраться с этой ситуацией, и тот обнаружил, что объявленная Томом много десятков лет назад теорема не верна. А именно, Том утверждал, что число «элементарных катастроф» … равно семи (при четырех параметрах нашего пространства-времени). Оказалось же, что это «число катастроф Тома» не может быть меньше 13 (и, вдобавок, до сих пор никто не знает даже, конечно ли их число, или же существует бесконечно много различных катастроф)».
«Пару десятков лет» не нашлось «дурака», который проверил бы результат Рене Тома. И это не единичный случай. Сегодня с такой задачей справился бы Lean, и «пару десятков лет» ему бы точно не понадобилось.
Сказать, что OpenAI «ничего не сделала, просто напустила тучу агентов на проблему», будет совершенно несправедливо. Математики и инженеры OpenAI управляли этим огромным оркестром ИИ-агентов, которые искали те самые кусочки пазла, строили гипотезы, проверяли их с помощью Lean, отбрасывали ложные, использовали правильные и при этом общались и друг с другом, и с людьми. Настроить такую систему и заставить ее работать — это выдающийся результат.
17 сентября три математика, известные специалисты по уравнениям Навье–Стокса, опубликовали работу, которая показала место доказательства OpenAI в общем развитии гидродинамики. Питер Константин, Михаэла Игнатова и Влад Викол доказали, что та форма взрыва, которую построила OpenAI, невозможна, если действующей силы нет (или она аналитична). Возможен ли взрыв другой формы, по-прежнему никто не знает, но тот способ складывания пазла, который использовала OpenAI, не проходит.
Но, может быть, еще интереснее, чем результат, — метод работы математиков. На подготовку и выпуск препринта у них было 9 дней. А препринт не маленький — 34 страницы. Конечно, у них были глубокие наработки, но скорость просто удивительная. Прямо в статье они рассказали, как шла ее подготовка.
Математики использовали общедоступные версии моделей Claude (Opus 5 и Fable 5.1 в среде Claude Code) и ChatGPT (Sol и Astra в среде Codex). Они пишут: «Наиболее активно эти системы ИИ применялись для разбора утверждений, содержащихся в статье OpenAI. Claude и ChatGPT использовались для анализа этого материала; в ходе нескольких интерактивных сессий были выделены основные свойства решений, описанных в конструкции OpenAI… Впоследствии эти свойства были сверены с общедоступной PDF-версией статьи и кодом на языке Lean, опубликованным OpenAI».
Когда математики разобрались с тем, что сделала OpenAI, они приступили к собственной работе. Для начала они познакомили ИИ-агентов со своими опубликованными статьями и передали им черновик новой работы, содержащий главную теорему. Claude и ChatGPT использовались для того, чтобы превратить этот черновик в рукопись с полными доказательствами всех утверждений. С помощью Claude Code текст был переработан под непосредственным руководством и контролем авторов; этот процесс включал не только стилистическую правку текста, но и проверку всех математических вычислений. Математики пишут: «Каждое предложение, расчет или ссылка, сформированные системами ИИ, проходили независимую проверку авторами и при необходимости корректировались или переформулировались ими; авторы несут полную ответственность за рукопись в ее текущем виде».
Проделать всю эту работу без ИИ за такой короткий срок было бы невозможно. 166-страничная статья, написанная агентами OpenAI, действительно нечитаема, но нечитаема для человека, а вот для ИИ это вполне доступный текст. То есть от создания статьи математики-люди не были устранены — напротив, их работа кратно ускорилась.
Актуальные видео о науке во время войны, интервью, подкасты и стримы со знаменитыми учеными — на YouTube-канале T-invariant. Станьте нашим подписчиком!
Программа Владимира Воеводского
В 2012 году филдсовский лауреат Владимир Воеводский сказал в интервью: «Чистая математика работает с моделями высокого уровня абстрактности и малой сложности (математики эту малую сложность любят называть элегантностью). Прикладная математика работает с моделями более конкретными, но высокого уровня сложности (много переменных, уравнений и т. д.). Интересные применения идей современной чистой математики скорее всего лежат в области высокой абстрактности и высокой сложности. Эта область сейчас практически недоступна, во многом из-за ограниченной способности человеческого мозга работать с такими моделями. Когда мы научимся использовать компьютеры для работы с абстрактными математическими объектами, эта проблема постепенно отойдет на второй план и появятся интересные приложения идей сегодняшней абстрактной математики».
166 страниц доказательства, построенного 10 000 агентов, — это и есть область «высокой абстрактности и высокой сложности», с которой человеческий мозг работать не может. Но Питер Константин и его коллеги, опираясь на ИИ, с этим справились. В том же интервью Воеводский оценил, сколько займет формализация его собственного доказательства гипотезы Милнора в существовавшей в 2012 году системе Coq: года 3–4. Формализация доказательства OpenAI заняла 17 часов.
В 2012 году слова Воеводского звучали как фантастика. Сегодня это нормальная работа. Его предчувствие было совершенно правильным, и остается только сожалеть, что Воеводский не дожил до воплощения своей программы.
Тревожный сентябрь 2026 года
Сентябрь 2026 года запомнят не только математики. Что-то крайне важное произошло за эти короткие недели. Пока нам даже трудно оценить последствия этих событий. Но что-то сказать можно.
Рене Том отмахнулся: «Всегда найдутся дураки, чтобы находить для наших теорем доказательства». Сентябрь 2026 года показал, что такие «дураки» нашлись — и работают они быстрее и надежнее людей: за 88 часов находят конструкцию, за 17 часов ее проверяют. Но Том не зря был уверен в себе: он искал не доказательства, а понимание. И вот здесь машины пока не могут заменить человека. Константину, Игнатовой и Виколу понадобилось всего 9 дней, чтобы понять, чем на самом деле является 166-страничный пазл OpenAI и где его границы. Может быть, так и будет выглядеть новая математика: машины находят и проверяют, люди понимают.
До сентября 2026 года математики спрашивали: сможет ли ИИ решать великие задачи? Теперь вопрос другой: всегда ли сможет человек понять эти решения? Пока — может, но тоже с помощью ИИ.